補題
Γ を集合 X の部分集合からなる集合環(過去スレ007の189)とする。

A ∈ Γ, B ∈ M(Γ) (>>84) のとき A ∪ B ∈ M(Γ) である。

証明
A ∈ Γ のとき、
Ψ = {B ⊂ X | A ∪ B ∈ M(Γ)} とおく。
Ψ は Γ を含むから、Ψ が単調族(>>82)であることを証明すればよい。

B_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
B_1 ⊂ B_2 ⊂ . . . のとき

A ∪ B_1 ⊂ A - B_2 ⊂ . . . となり
A ∪ (∪B_n) = ∪(A ∪ B_n) ∈ M(Γ)

よって、∪B_n ∈ Ψ

B_n ∈ Ψ, n = 1, 2, . . . で
B_1 ⊃ B_2 ⊃ . . . のとき

A ∪ B_1 ⊃ A ∪ B_2 ⊃ . . . となり
A ∪ (∩B_n) = ∩(A ∪ B_n) ∈ M(Γ)

よって、∩B_n ∈ Ψ
証明終