過去スレ007の452の積分の定義を少し変えることにする。

定義
(X, Φ, μ) を 測度空間とする。
Ψ = { A ∈ Φ | μ(A) ＜ +∞ } とおく。
E(Ψ) を、R = (-∞, +∞) に値をとる
Ψ 上の単関数全体とする。

f : X → [0, +∞] を可測関数とする。

S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度が σ-有限のとき、
∫[X] f dμ = sup {∫[X] s dμ | 0 ≦ s ≦ f, s ∈ E(Ψ) }

S(f) の測度が σ-有限でないときは
∫[X] f dμ = +∞ とする。

∫[X] f dμ を f の X における(μ に関する)積分と言う。

∫[X] f dμ ＜ +∞ のとき f を積分可能または可積分と言う。