命題
X を局所コンパクト空間とする。
μ を X 上の任意の Borel 測度(>>18)とする。

X が第２可算公理を満たせば、
X の任意の開集合は μ に関して内正則(>>19)である。

証明
>>75 より U はコンパクト集合 (K_n), n = 1, 2, . . . の合併である。

K_1 ∪ . . . ∪K_n はコンパクトだから
K_1 ⊂ K_2 ⊂ . . . と仮定してよい。

過去スレ007の323より、
μ(U) = lim μ(K_n) である。

μ(U) = +∞ なら
sup {μ(K) | K ⊂ U, コンパクト集合 K } = +∞

μ(U) ＜ +∞ なら
任意の ε ＞ 0 に対して
μ(U) - ε ＜ μ(K_n) となる n がある。

よって
μ(U) = sup {μ(K) | K ⊂ U, コンパクト集合 K }

以上から、U は内正則である。
証明終