命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723)とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。
E を μ^*(E) ＜ +∞ かつ準可測(>>61) とする。
このとき、K_n ⊂ E ⊂ U_n となるコンパクト集合の列 (K_n) と、
測度有限な開集合の列 (U_n) があり、

F = ∪K_n, G = ∩U_n とおくと
F ⊂ E ⊂ G となり
μ^*(G - F) = 0 となる。

証明
任意の整数 n ＞ 0 に対して、
K_n ⊂ E, μ^*(E) ＜ μ^*(K_n) + 1/2^n
となるコンパクト集合 K_n と、
E ⊂ U_n, μ^*(U_n) ＜ μ^*(E) + 1/2^n
となる開集合 U_n がある。

μ^*(E) - μ^*(K_n) ＜ 1/2^n
μ^*(U_n) - μ^*(E) ＜ 1/2^n だから
μ^*(U_n) - μ^*(K_n) ＜ 2/2^n
K_n ⊂ E ⊂ U_n だから
F = ∪K_n, G = ∩U_n とおくと
F ⊂ E ⊂ G となる。

任意の n ＞ 0 に対して、
G - F ⊂ U_n - K_n
μ^*(G - F) ≦ μ^*(U_n - K_n) = μ^*(U_n) - μ^*(K_n) ＜ 2/2^n
よって
μ^*(G - F) = 0
証明終