命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
A を E の吸収的(過去スレ006の628)で平衡的(過去スレ006の630)な
凸部分集合(>>424, >>594)とする。

任意の x ∈ E に対して
p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αA } とおく。

p(x) は E の半ノルム(>>458)である。

証明
>>473 より
λ ＞ 0 のとき常に p(λx) = λp(x)
常に p(x + y) ≦ p(x) + p(y) となる。

A は平衡的だから |μ| = 1 のとき x ∈ αA ⇔ μx ∈ αA
よって、p(μx) = p(x)

任意の K の元 z ≠ 0 に対して μ = z/|z| とおけば、
z = |z|μ, |μ| = 1 だから
p(zx) = p(|z|μx) = |z|p(μx) = |z|p(x) である。

A は平衡的だから A = -A であり、A は凸だから 0 ∈ A である。
よって p(0) = 0 である。

以上から p は半ノルムである。
証明終