補題
A を可換とは限らない環とする。
I を上向きの有向集合(>>140)とする。
I を添え字集合とする A-加群の帰納系(>>578) (M_i) とする。
T を M_i の直和集合とする。
T を >>581 の同値関係 ≡ で割った商集合を M とする。
x ∈ T に対して x の同値類を [x] と書く。
a ∈ A, x_i ∈ M_i に対して [ax_i] は a と [x_i] のみで定まり、
[x_i] の代表元の選び方によらない。

証明
x_i ∈ M_i, x_j ∈ M_j に対して、x_i ≡ x_j とする。
i ≦ k, j ≦ k となる k があり、
f_(k, i)(x_i) = f_(k, j)(x_j) となる。
よって
af_(k, i)(x_i) = af_(k, j)(x_j)
即ち
f_(k, i)(ax_i) = f_(k, j)(ax_j)
よって、ax_i ≡ ax_j である。
証明終