補題
A を可換とは限らない環とする。
I を上向きの有向集合(>>140)とする。
I を添え字集合とする A-加群の帰納系(>>578) (M_i) とする。
T を M_i の直和集合とする。
T に以下のように関係≡を導入する。

x_i ∈ M_i, y_j ∈ M_j に対して x_i ≡ y_j とは
i ≦ k, j ≦ k となるk があり、
f_(k, i)(x_i) = f_(k, j)(y_j) となることをいう。
ここで、f_(k, i) は、帰納系 (M_i) を定義する射である。

このとき関係≡は同値関係である。

証明
推移律のみ証明すればよい。
x_i ∈ M_i, y_j ∈ M_j, z_k ∈ M_k に対して
x_i ≡ y_j かつ y_j ≡ z_k とする。

i ≦ s, j ≦ s となる s があり、
f_(s, i)(x_i) = f_(s, j)(y_j) となり、
j ≦ t, k ≦ t となる s があり、
f_(t, j)(y_j) = f_(t, k)(z_k) となる。

I は上向きの有向集合だから s ≦ u, t ≦ u となる u がある。
f_(s, i)(x_i) = f_(s, j)(y_j) の両辺に f_(u, s) を作用させると
f_(u, i)(x_i) = f_(u, j)(y_j)
f_(t, j)(y_j) = f_(t, k)(z_k) の両辺に f_(u, t) を作用させると
f_(u, j)(y_j) = f_(u, k)(z_k)
よって、f_(u, i)(x_i) = f_(u, j)(y_j) = f_(u, k)(z_k)
即ち x_i ≡ z_k
証明終