>>562 の続き。

(3)
p を E の半ノルム(>>458)とする。
各 i ∈ I に対して g_i は連続だから
p が連続なら p(g_i) は連続である。

逆に、各 i ∈ I に対して p(g_i) が連続であるとする。
W = p^(-1)([0, 1)) = { x ∈ E | p(x) ＜ 1 } とおく。
容易にわかるように W は凸で対称的で吸収的である。
(g_i)^(-1)(W) は F_i の 0 の近傍だから、 W ∈ Φ_0 である。
>>474(の(1) ⇒ (2)の証明)より p は連続である。

(4) は明らかである。

(5)
Φ_0 を 0 の基本近傍系とする E の位相を γ_0 とする。
E の局所凸な位相で (2) を満たすものを γ_1 とする。

E に位相 γ_0 を与えたものを E_0 とし、
E に位相 γ_1 を与えたものを E_1 とする。

E_1 から E_1 への恒等写像は連続だから、
各 i ∈ I に対して g_i : F_i → E_1 は連続である。
よって、(4) より、γ_1 ⊂ γ_0 である。

E_1 から E_0 への恒等写像は、各 i ∈ I に対して
g_i : F_i → E_1 が連続だから連続である。
よって、γ_0 ⊂ γ_1 である。
よって、γ_0 = γ_1 である。

(続く)