>>561 の証明

(1)
V ∈ Φ_0, W ∈ Φ_0 なら、
各 i に対して (g_i)^(-1)(V ∩ W) = (g_i)^(-1)(V) ∩ (g_i)^(-1)(W)
は F_i の 0 の近傍だから、V ∩ W ∈ Φ_0 である。
よって、Φ_0 はフィルター基底(過去スレ006の77)である。

任意の α ＞ 0 と任意の V ∈ Φ_0 に対して
(g_i)^(-1)(αV) = α(g_i)^(-1)(V) は F_i の 0 の近傍だから
αV ∈ Φ_0 である。

>>560 より (1) が成り立つ。

(2)
G を局所凸な位相線形空間で f : E → G を線形写像とする。
各 i ∈ I に対して g_i は連続だから
f が連続なら f(g_i) は連続である。

逆に、各 i ∈ I に対して f(g_i) が連続であるとする。
W を G の 0 の近傍で樽(>>450)とする。
(g_i)^(-1)(f^(-1)(W)) は F_i の 0 の近傍である。
>>429 より f^(-1)(W) は凸である。
明らかに f^(-1)(W) は対称的で吸収的だから
f^(-1)(W) ∈ Φ_0 である。
>>514 より、E の 0 の基本近傍系ですべて樽からなるもがある。
よって、f は連続である。

(続く)