命題
E を 実数体 R 上の線形空間とする。
Φ_0 を E の凸(>>424)かつ対称的(>>436)で吸収的(過去スレ006の628)な
部分集合からなるフィルター基底(過去スレ006の77)で、
任意の α ＞ 0 と任意の V ∈ Φに対して αV ∈ Φ_0 とする。

このとき、E を局所凸な位相線形空間にする位相で、
Φ_0 は 0 の基本近傍系となるようなものが存在する。

証明
Φ_0 が生成するフィルター(過去スレ006の76)をΦとする。
過去スレ006の636より以下を証明すればよい。

1) V ∈ Φ なら W ∈ Φ があり W + W ⊂ V
2) 任意の V ∈ Φ と任意の K の元 λ ≠ 0 に対して λV ∈ Φ
3) 任意の V ∈ Φ は吸収的である。
4) 任意の V ∈ Φ に対して平衡的(>>630)な W ∈ Φ があり、
W ⊂ V となる。

V ∈ Φ_0 なら V は凸だから>>472より (1/2)V + (1/2)V = V である。
仮定より (1/2)V ∈ Φ だから 1) が成り立つ。

V ∈ Φ_0 なら V は対称的だから -V = V である。
任意の α ＞ 0 に対して αV ∈ Φ_0 だから -αV ∈ Φ_0 である。
よって 2) が成り立つ。

V ∈ Φ_0 なら V は吸収的だから 3) が成り立つ。

V ∈ Φ_0 なら V は凸で対称的だから>>438より V は平衡的である。
よって、4) が成り立つ。
証明終