命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の位相線形空間とする。
0 の任意の近傍が E の 0 でない部分空間を含めば E は
ノルム付け可能(>>539)ではない。

証明
E の位相が E のあるノルム p により定義されるとする。
W(1) = { x ∈ E | p(x) ＜ 1 } は 0 の近傍だから
E の部分空間 F ≠ 0 を含む。

x を F の 0 でない任意の元とする。
任意の λ ∈ K に対して λx ∈ F ⊂ W(1) だから
p(λx) = |λ|p(x) ＜ 1 である。

| | は K の自明でない絶対値だから 0 ＜ |λ| ＜ 1 となる
λ ∈ K がある。
任意の整数 n ＞ 0 に対して |λ^(-n)|p(x) ＜ 1 である。
よって、p(x) ＜ |λ|^n
n → ∞ とすれば |λ|^n → 0 だから
p(x) = 0 である。
これは x ≠ 0 に反する。
証明終