命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の線形空間とする。
Γ を E 上の半ノルム(>>458)の集合とする。
E に Γ で定義される位相(>>469)を与える。

E は位相アーベル群だから一様空間であ(過去スレ006の200)。
E の分離完備化(過去スレ006の288)を E^ とする。
各 p ∈ Γ は E で一様連続であり、
一様連続写像の延長定理(過去スレ006の272)より、
p は連続写像 p^ : E^ → [0, +∞) に拡張される。
p^ は E^ の半ノルムであり、Γ^ = { p^ | p ∈ Γ } とおくと、
E^ の位相は Γ^ により定義される。

証明
>>474 の証明より各 p ∈ Γ は一様連続である。
不等式延長の原理(過去スレ006の473)より、p^ は E^ の半ノルムになる。
p^(x - y) は E^ 上の擬距離(過去スレ007の47)であるから
過去スレ007の68より E^ の位相は Γ^ により定義される。
証明終