命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414)とする。
E を K 上の線形空間とする。
Γ を E 上の半ノルム(>>458)の集合とする。
E に Γ で定義される位相(>>469)を与える。

0 の閉包 {0}~ = { x ∈ E | すべての p ∈ Γ に対して p(x) = 0 }
である。

証明
M = { x ∈ E | すべての p ∈ Γ に対して p(x) = 0 } とおく。

p ∈ Γ は E から実数体 R への写像として連続であるから、
{ x ∈ E | p(x) = 0 } は閉集合である。
よって、M は閉集合である。
よって、 {0}~ ⊂ M である。

x ∈ E - {0}~ とする。
x + V(p_1, α_1) ∩ . . . ∩ V(p_n, α_n) が 0 を含まないような
Γ の元 p_1, . . ., p_n と実数 α_1 ＞ 0, . . ., α_n ＞ 0 が
存在する。
ここで V(p_i, α_i) = { x ∈ E | p_i(x) ≦ α_i } である。

よって、p_i(x) ＞ α_i となる i (1 ≦ i ≦ n) がある。
よって、x ∈ E - M である。
従って、M ⊂ {0}~ である。
証明終