命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
E の位相に関して連続な半ノルムの全体を Γ とする。
E が局所凸(>>513)なら E の位相は Γ により定義(>>469)される。

証明
0 の基本近傍系で樽となるもの全体を Ω とする。
B ∈ Ω のとき >>511 より、半ノルム p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。
この半ノルム p を p_B と書く。

B は 0 の近傍だから、
任意の ε ＞ 0 に対してεB も 0 の近傍である。
x ∈ εB なら p_B(x) ≦ ε
よって、p_B は 0 で連続である。
>>474 より p_B は連続である。
即ち p_B ∈ Γ である。

逆に p ∈ Γ なら、>>520 より B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } は
樽である。B は 0 の近傍だから B ∈ Ω である。

以上から Γ = { p_B | B ∈ Ω } となる。
>>519 の証明より E の位相は Γ により定義される。
証明終