>>518 を以下のように訂正する。

命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
E の位相が半ノルムの集合により定義される(>>469)ためには
E が局所凸(>>513)であることが必要十分である。

証明
E の位相が半ノルムの集合 Γ により定義されるとする。
>>471 より p_1, . . ., p_n を Γ の有限列 α_i ＞ 0 としたとき、
∩V(p_i, α_i) 全体は Γ により定義される位相に関して
0 の基本近傍系である。
>>516 より各 V(p_i, α_i) は凸だから、>>430 より
∩V(p_i, α_i) も凸である。
よって、E は局所凸である。

逆に、E は局所凸であるとする。
>>514 より E の 0 の基本近傍系で樽からなるもがある。
0 の基本近傍系で樽となるもの全体を Ω とする。

B ∈ Ω のとき >>511 より、半ノルム p で
B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } となるものが一意に存在する。
この半ノルム p を p_B と書く。

Γ = { p_B | B ∈ Ω } とおく。
>>515 より B ∈ Ω、α ＞ 0 のとき、V(p_B, α) = αB である。
よって、B_1, . . ., B_n を Ω の有限列とし、α_i ＞ 0 としたとき、
∩V(p_(B_i), α_i) = ∩(α_i)B_i である。
>>517 より (α_i)B_i は樽であるから ∩(α_i)B_i も樽である。
即ち ∩V(p_(B_i), α_i) ∈ Ω である。
以上から E の位相は半ノルムの集合 Γ により定義される
証明終