命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
p を E の半ノルム(>>458)とする。
任意の α ＞ 0 に対して、
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } は凸(>>424)である。

証明
x, y を V(p, α) の２点とする。
λ ≧ 0, μ ≧ 0, λ + μ = 1 のとき
p(λx + μy) = λp(x) + μp(y) ≦ λα + μα = α
よって、λx + μy ∈ V(p, α) である。
即ち、V(p, α) は凸である。
証明終