命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
B を E における樽(>>450)とする。
>>511 より、半ノルム(>>458) p で B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 }
となるものが一意に存在する。

α ＞ 0 を正数とする。
V(p, α) = { x ∈ E | p(x) ≦ α } とおくと、
V(p, α) = αB である。

証明
x ∈ αB なら x = αy となる y ∈ B がある。
p(x) = αp(y) ≦ α
よって、x ∈ V(p, α)

逆に、x ∈ V(p, α) とする。
>>511 の証明より p(x) = inf { β ＞ 0 | x ∈ βB } であるから
p(x) ≦ α なら任意の ε ＞ 0 に対して x ∈ (α + ε)B
よって、(1/(α + ε))x ∈ B となる。
ε → 0 のとき 1/(α + ε) → 1/α だから
(1/(α + ε))x → (1/α)x となる。
B は閉集合だから (1/α)x ∈ B 即ち、x ∈ αB である。

以上から
V(p, α) = αB である。
証明終