命題
E を実数体 R 上の局所凸位相線形空間(>>513)とする。
E の 0 の基本近傍系ですべて樽(>>450)からなるもがある。

証明
0 の任意の近傍 U をとる。
E は一様空間であるから過去スレ006の207より 0 の閉近傍全体は
基本近傍系である。
よって、0 の閉近傍 V で V ⊂ U となるものがある。
E は局所凸だから 0 の凸近傍 W で W ⊂ V となるものがある。

写像 x → -x は線形写像だから>>428より -W は凸である。
従って、>>430 より W ∩ -W も凸である。
W ∩ -W の閉包を B とする。
V は閉だから B ⊂ V である。

>>434 より B は凸である。
W ∩ -W は対称的(>>436)だから B も対称的である。
従って、>>438より B は平衡的である。
B は 0 の近傍だから>>455より吸収的である。
よって、 B は樽である。
証明終