命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
B を E における樽(>>450)とする。
このとき、半ノルム(>>458) p で B = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 }
となるものが一意に存在する。

p が連続となるためには B が 0 の近傍であることが必要十分である。

証明
任意の x ∈ E に対して
p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αB } とおく。

B は平衡的だから >>437 より対称的(>>436)である。
α ＞ 0, λ ＞ 0 のとき
x ∈ αB ⇔ x ∈ -αB ⇔ λx ∈ -λαB ⇔ -λx ∈ λαB
よって、
p(-λx) = λp(x)

>>473 の (1) と合わせて、p(λx) = |λ|p(x)
よって >>473 の (2) より p は半ノルムである。

V(p, 1) = { x ∈ E | p(x) ≦ 1 } とおく。
p(x) ≦ 1 なら任意の ε ＞ 0 に対して x ∈ (1 + ε)B
よって、(1/(1 + ε))x ∈ B となる。
ε → 0 のとき 1/(1 + ε) → 1 だから
(1/(1 + ε))x → x となる。
B は閉集合だから x ∈ B である。
よって、V(p, 1) ⊂ B である。
逆の包含関係は明らかだから V(p, 1) = B
p の一意性は >>510 より明らかである。

(続く)