命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
p を E の半ノルム(>>458)とする。
以下の条件は同値である。

(1) W(p, 1) = { x ∈ E | p(x) ＜ 1 } は開集合

(2) p は 0 で連続

(3) p は連続

証明
(1) ⇒ (2)
任意の ε ＞ 0 に対して εW(p, 1) は 0 の近傍である。
x ∈ W(p, 1) なら p(εx) = εp(x) ＜ ε
よって、p は 0 で連続である。

(2) ⇒ (3)
p は半ノルムだから任意の x, y ∈ E に対して
p(x) ≦ p(x - y) + p(y)
p(y) ≦ p(x - y) + p(x)
よって
|p(x) - p(y)| ≦ p(x - y)
p は 0 で連続だから任意の ε ＞ 0 に対して 0 の近傍 U があり、
z ∈ U なら p(z) ＜ ε となる。
従って、x - y ∈ U なら p(x - y) ＜ ε となる。
よって、上の不等式より |p(x) - p(y)| ＜ ε となる。
これは p が一様連続であることを意味する。

(3) ⇒ (1)
明らかである。
証明終