命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
A を E の吸収的(過去スレ006の628)な凸部分集合(>>424)とする。

任意の x ∈ E に対して
p(x) = inf { α ＞ 0 | x ∈ αA } とおく。

0 ≦ p(x) ＜ +∞ であり、

(1) λ ＞ 0 のとき常に p(λx) = λp(x)

(2) 常に p(x + y) ≦ p(x) + p(y)

証明
A は吸収的だから 0 ≦ p(x) ＜ +∞ である。

(1) λ ＞ 0 のとき
x ∈ αA と λx ∈ λαA は同値である。
よって、p(λx) = λp(x)

(2)
α ＞ 0, β ＞ 0
x ∈ αA と y ∈ βA のとき、>>472 より
x + y ∈ αA + βA = (α + β)A

よって、
p(x + y) ≦ p(x) + p(y)
証明終