命題
A を可換とは限らない位相環とする。
F を A 上の位相加群(過去スレ006の372)とする。
E を A-加群とする。
f : E → F を A-加群の準同型とする。

β を F の位相構造(即ち F の開集合全体)とする。
E は β の f による逆像 f^(-1)(β) により A 上の位相加群となる。

ここで、f^(-1)(β) = { f^(-1)(U) | U ∈ β } である。

証明
>>466 より E は f^(-1)(β) により位相アーベル群となる。
よって、
写像 h : A×E → E
h(λ, x) → λx
が連続なことを示せばよい。

t ∈ A, c ∈ E し、tc ∈ f^(-1)(U), U ∈ β とする。

tf(c) ∈ U だから

t ∈ V
f(c) ∈ W
となる A の開集合 V と W ∈ β があり、
VW ⊂ U となる。

c ∈ f^(-1)(W)
で、
Vf^(-1)(W) ⊂ f^(-1)(U)
よって、写像 h: (λ, x) → λx は連続である。
証明終