命題
F を位相アーベル群とする。
E をアーベル群とする。

f : E → F を群の準同型とする。

β を F の位相構造(即ち F の開集合全体)とする。
E は β の f による逆像 f^(-1)(β) により位相アーベル群となる。

ここで、f^(-1)(β) = { f^(-1)(U) | U ∈ β } である。

証明
a, b を E の元とし、a - b ∈ f^(-1)(U), U ∈ β とする。
f(a) - f(b) ∈ U だから
f(a) ∈ V
f(b) ∈ W
となる V ∈ β, W ∈ β があり、
V - W ⊂ U となる。

a ∈ f^(-1)(V)
b ∈ f^(-1)(W)
で、
f^(-1)(V) - f^(-1)(W) ⊂ f^(-1)(U)
よって、写像 (x, y) → x - y は連続である。
証明終