命題
A を可換とは限らない位相環とする。
(E_i), i ∈ I を A 上の位相加群(過去スレ006の372)の族とする。
E = ΠE_i は積位相で A 上の位相加群となる。

証明
>>464 より E は積位相で位相アーベル群となる。

写像 f : A×E → E を f(λ, x) = λx で定義する。
f が連続なことを言えばよい。

p_i : E → E_i を射影とする。
各 (p_i)f が連続なことを示せばよい。

写像 h : A×E → A×E_i を h(λ, x) = (λ, p_i(x)) で定義する。
E は位相空間 E_i の積だから h_i は連続である。

写像 f_i : A×E_i → E_i を f(λ, x_i) = λx_i で定義する。
E_i は位相加群だから f_i は連続である。

(p_i)f = (f_i)(h_i) だから f は連続である。
証明終