命題
(G_i), i ∈ I を位相群の族とする。
G = ΠG_i は積位相で位相群となる。

証明
写像 f : G×G → G を f(x, y) = xy^(-1) で定義する。
f が連続なことを言えばよい。

p_i : G → G_i を射影とする。
各 (p_i)f が連続なことを示せばよい。

h_i : G×G → (G_i)×(G_i)
を、h_i(x, y) = (p_i(x), p_i(y)) で定義する。
G は位相空間 G_i の積だから h_i は連続である。

f_i : (G_i)×(G_i) → G_i
を f_i(x_i, y_i) = (x_i)(y_i)^(-1) で定義する。
G_i は位相群だから f_i は連続である。

(p_i)f = (f_i)(h_i) だから f は連続である。
証明終