命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
A を E の凸部分集合とする。

A が対称的(>>436)なら A は平衡的(過去スレ006の630)である。
さらに、このとき 0 ∈ A である。

証明
A が空集合なら命題は明らかである。
A ≠ φ とする。

x ∈ A のとき -x ∈ A である。
よって、
0 = (x + (-x))/2 = (1/2)x + (1/2)x(-x) ∈ A

よって、
0 ≦ λ ≦ 1 のとき
λx = λx + (1 - λ)0 ∈ A
および
-λx = λ(-x) + (1 - λ)0 ∈ A

即ち |λ| ≦ 1 のとき λx ∈ A である。
よって、A は平衡的である。
証明終