命題
E を実数体 R 上の位相線形空間とする。
A を E の凸部分集合とする。

A の閉包 A~ も凸である。

証明
0 ＜ λ ＜ 1 に対して
f : E×E → E を f(x, y) = λx + (1 - λ)y で定義する。
f は連続だから f(A~) ⊂ f(A)~ である。

A は凸だから f(A) ⊂ A である。
よって、f(A)~ ⊂ A~ である。
よって、f(A~) ⊂ A~ である。
即ち、A~ は凸である。
証明終