命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
A を E の任意の部分集合とする。

B = { Σ(λ_i)x_i | x_i ∈ A, i = 1, ..., n, λ_i ≧ 0, Σλ_i = 1 }
は A の凸包(>>431)である。

証明
C を A の凸包とする。

>>432 より
B ⊂ C である。
従って、B が凸であることを示せばよい。

x = Σ(λ_i)x_i ∈ B, λ_i ≧ 0, Σλ_i = 1
y = Σ(μ_j)y_j ∈ B, μ_j ≧ 0, Σμ_j = 1
とする。

t ≧ 0, s ≧ 0, t + s = 1 のとき、
tx + ys =
t(Σ(λ_i)x_i) + s(Σ(μ_j)y_j) = Σt(λ_i)x_i + Σs(μ_j)y_j
Σt(λ_i) + Σs(μ_j) = tΣ(λ_i) + sΣ(μ_j) = t + s = 1
よって、
tx + ys ∈ B
証明終