命題
E と F を実数体 R 上の線形空間とする。
f : E → F を線形写像とする。

E の任意の２点 x, y に対して、閉線分 [x, y] (>>423) を考える。
f([x, y]) = [f(x), f(y)] である。

証明
[x, y] の任意の点 z は
z = λx + μy
λ ≧ 0, μ ≧ 0, λ + μ = 1
と書ける。

f(z) = λf(x) + μf(y) ∈ [f(x), f(y)]

よって、
f([x, y]) ⊂ [f(x), f(y)]
逆の包含関係も明らかだから、
f([x, y]) = [f(x), f(y)]
証明