命題
E を実数体 R 上の線形空間とする。
A を E の凸部分集合とする。

x_1, . . . , x_n を E の任意の有限点列とする。

λ_1 ≧ 0, . . ., λ_n ≧ 0
λ_1 + . . . + λ_n = 1 なら

(λ_1)x_1 + . . . + (λ_n)x_n ∈ A である。

証明
n に関する帰納法を使う。
n = 1 のときは明らかである。
よって、n ≧ 2 とする。

ある λ_i = 0 なら帰納法の仮定より命題は明らかだから
λ_1 ＞ 0, . . ., λ_n ＞ 0 と仮定する。

λ_1 + . . . + λ_(n-1) = μ とおく。

μ ＞ 0 だから
λ_1/μ + . . . + λ_(n-1)/μ = 1 である。
y = (λ_1/μ)x_1 + . . . + (λ_(n-1)/μ)x_(n-1) とおく。
帰納法の仮定より
y ∈ A である。

μ + λ_(n-1) = 1 で、A は凸だから
(λ_1)x_1 + . . . + (λ_n)x_n = μy + (λ_n)x_n ∈ A である。
証明終