命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を 実数体または複素数体とする。
F と G を K 上の完備なノルム空間とする。
u : F → G を線形写像とする。

Ψ = { A ∈ Φ | A ⊂ K となるコンパクト集合 K がある }
とおく。

f ∈ E(Ψ, F) (>>332) のとき、uf ∈ E(Ψ, G) で、

∫ uf dμ = u(∫ f dμ)

証明
>>333 より、
M_1, . . . , M_n を互いに交わらない Ψ に属す集合とし、
f = Σ(a_i)χ_(M_i) と書ける。
ここで、a_i は F の元である。

uf = Σu(a_i)χ_(M_i) ∈ E(Ψ, G) である。

∫ uf dμ = Σu(a_i)μ(M_i) = u(Σ(a_i)μ(M_i)) = u(∫ f dμ)
証明終