命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を 実数体または複素数体とする。
F と G を K 上の完備なノルム空間とする。

u : F → G を連続な線形写像とする。
f ∈ L^p(X, F) (>>299) のとき、uf ∈ L^p(X, G)

証明
u は連続だから uf は可測である。
|u| を u のノルム(過去スレ007の137)とする。
即ち、
|u| = inf { a ≧ 0 | 任意の x ∈ F に対して u(x) ≦ a|x| }

過去スレ007の134より |u| ＜ +∞

任意の x ∈ X に対して
|uf(x)| ≦ |u||f(x)|

即ち
|uf| ≦ |u||f|
よって、
N_p(uf) ≦ |u|N_p(f) ＜ +∞
証明終