命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
L を実数体または複素数体とする。
F を L 上の完備なノルム空間とする。

X における μ-可測な集合全体を Φ とする。
Ψ = { A ∈ Φ | A ⊂ K となるコンパクト集合 K がある }
とおく。

L^1(X, F) (>>299) から F への一様連続連続な L-線形写像 ψ で
E(Ψ, F) (>>332) において ∫ f dμ (>>349) に一致するものが
一意に存在する。

証明
>>352 より、
E(Ψ, F) は L^1(X, F) の稠密な部分線形空間であり、
f ∈ E(Ψ, F) に対して、その積分(>>349) ∫ f dμ を
対応させる写像 φ は一様連続である。

F は完備だから、一様連続写像の延長定理(過去スレ006の272)より、
φ は一様連続写像 ψ : L^1(X, F) → F に一意に拡張される。
証明終