命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。

X における μ-可測な集合全体を Φ とする。
Ψ = { A ∈ Φ | A ⊂ K となるコンパクト集合 K がある }
とおく。

E(Ψ, F) (>>332) は L^1(X, F) (>>299) の稠密な部分線形空間である。

さらに、f ∈ E(Ψ, F) に対して、その積分(>>349) ∫ f dμ を
対応させる写像は E(Ψ, F) に L^1(X, F) の部分空間としての位相を
与えたとき一様連続である。

証明
>>339 より E(Ψ, F) は L^1(X, F) の稠密な部分線形空間である。

>>350 より
f ∈ E(Ψ, F), g ∈ E(Ψ, F) のとき、
|∫ f dμ - ∫ g dμ| = |∫ (f - g) dμ| ≦ ∫|f - g|dμ
これから命題が従う。
証明終