命題
X を集合とし、Φ をその上の集合環(過去スレ007の189)とする。
F を実数体または複素数体上のノルム空間とする。

E(Φ, F) (>>332) は実数体 R 上の線形空間である。

このとき、E(Φ, F) = F * E(Φ, R) である。
ここで、F * E(Φ, R) は実数体上のテンソル積である。

証明
F×E(Φ, R) から E(Φ, F) への写像 α を
α(a, f) = af で定義する。
ここで af は x ∈ X に af(x) を対応させる関数である。
α は R-双線形写像であるから、
F * E(Φ, R) から E(Φ, F) への写像 β で
β(a*f) = af となるものが存在する。

f を E(Φ, F) の任意の元とする。
>>344 より、
M_1, . . . , M_n を互いに交わらない Φ に属す集合とし、
f = Σ(a_i)χ_(M_i) (1 ≦ i ≦ n) と一意に書ける。
ここで、a_i ≠ 0 で、i ≠ j なら a_i ≠ a_j である。
ここで、a_i は F の元である。

γ(f) = Σ(a_i)*χ_(M_i) ∈ F * E(Φ, R)
と定義すると、
γ は E(Φ, F) から F * E(Φ, R) への R-線形写像である。

β と γ が互いに逆写像になっていることは容易にわかる。
証明終