命題
X を集合とし、Φ をその上の集合環(過去スレ007の189)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。

F に値をとる Φ上の任意の単関数(>>332) は
M_1, . . . , M_n を互いに交わらない Φ に属す集合とし、
f = Σ(a_i)χ_(M_i) (1 ≦ i ≦ n) と一意に書ける。
ここで、a_i ≠ 0 で、i ≠ j なら a_i ≠ a_j である。
ここで、a_i は F の元である。

証明
>>333 より、E(Φ, F) の任意の関数 f は
M_1, . . . , M_n を互いに交わらない Φ に属す集合とし、
f = Σ(a_i)χ_(M_i) (1 ≦ i ≦ n) と書ける。
ここで、a_i ≠ 0 で、i ≠ j なら a_i ≠ a_j である。

f(X) - {0} = {a_1, . . . , a_n} で
M_i = f^(-1)(a_i) であるから一意性も明らかである。
証明終