命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。

X における μ-可測な集合全体を Φ とする。
Ψ = { A ∈ Φ | μ(A) ＜ +∞ } とおく。

s を F に値をとる Ψ 上の単関数(>>332)とする。

任意の ε ＞ 0 に対して、
N_p(s - g) ＜ ε となるコンパクトな台をもつ連続関数 g : X → F
が存在する。

証明
>>333 より、
s = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n,
a_i ∈ F, a_i ≠ 0,
E_i ∈ Ψ, i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ
と書ける。

M = sup {|a_1|, . . . , |a_n|} とおく。

μ(E_i) ＜ ＋∞ だから、
>>122 より、各 i で、
K_i ⊂ E_i ⊂ U_i
μ(U_i) - μ(K_i) ＜ (ε/2nM)^p
となるコンパクト集合 K_i と 開集合 U_i が存在する。
過去スレ007の706 より、
χ_(K_i) ≦ g_i ≦ χ_(U_i) となる g_i ∈ K+(X) がある。
g = Σ(a_i)g_i とおく。
明らかに g はコンパクトな台をもつ連続関数である。
(続く)