命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。
X における μ-可測な集合全体を Φ とする。

Ψ = { A ∈ Φ | A ⊂ K となるコンパクト集合 K がある }
とおく。
Ψ は集合環(過去スレ007の189)である。

F に値をとる Ψ 上の単関数全体 E(Ψ, F) (>>332) は
L^p(X, F) (>>299) において稠密である。

証明
f を L^p(X, F) に属す関数でコンパクトな台 K を持つとする。

>>331 より、
台が K に含まれる強可測な単関数(>>251)の列 (g_n)
で、すべての x ∈ X で |g_n(x)| ≦ |f(x)| となり、
K において、従って X において a.e. に f に単純収束するものが
存在する。

g_n は Ψ に含まれる。

Lebesgue の項別積分定理(>>327) より、
(g_n) は f に L^p 収束(>>310)する。

>>338 より L^p(X, F) に属す関数でコンパクトな台を持つもの全体は
L^p(X, F) で稠密である。

よって、本命題が従う。
証明終