命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。

L^p(X, F) (>>299) に属す関数でコンパクトな台を持つもの全体は
L^p(X, F) において稠密である。

証明
f を L^p(X, F) に属す関数とする。

>>334 より、
A = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } は
A = N ∪ B, N ∩ B = φ
μ(N) = 0
B = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。

ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。

K_1 ∪ . . . K_n で f に等しく、他の点では 0 に等しい関数を
f_n とする。

>>337 より f_n は可測である。

|f_n| ≦ |f| だから f_n は L^p(X, F) に属す。

(f_n) は a.e. に f に単純収束するから、
>>327 より(f_n) は f に L^p 収束(>>310)する。
証明終