命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。
f を L^p(X, F) (>>299) の元とする。

A = { x ∈ X | f(x) ≠ 0 } は
A = N ∪ B, N ∩ B = φ
μ(N) = 0
B = ∪K_n, n = 1, 2, . . . と表される。

ここで、各 K_n はコンパクト集合で i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
である。

証明
整数 n ＞ 0 に対して、
A_n = { x ∈ X | |f(x)| ≧ 1/n } とする。
>>298 より |f(x)| は可測関数である。
従って、>>264 より A_n は可測である。

χ_(A_n) ≦ n|f|
よって
χ_(A_n) = (χ_(A_n))^p ≦ (n|f|)^p

よって
μ(A_n) ≦ (nN_p(|f|))^p ＜ +∞

A = ∪A_n だから >>246 より命題が従う。
証明終