補題
X を集合とし、Φ をその上の集合環(過去スレ007の189)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。
F に値をとる Φ上の任意の単関数(>>332) は
M_1, . . . , M_n を互いに交わらない Φ に属す集合とし、
Σ(a_i)χ_(M_i) と書ける。
ここで、a_i は F の元である。

証明
M と N を Φ の元、a, b を F の元とすると、
aχ_M + bχ_N = aχ_(M - N) + (a + b)χ_(M ∩ N) + bχ_(N - M)

これから明らかである。
証明終