命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を実数体または複素数体上の完備なノルム空間とする。
f を X から F への可測写像(>>176)とする。

任意のコンパクト集合 K ⊂ X に対して、
台が K に含まれる強可測な単関数(>>251)の列 (g_n)
で、すべての x ∈ X で |g_n(x)| ≦ |f(x)| となり、
K において a.e. に f に単純収束するものが存在する。

証明
>>330 の記号を使う。
y ∈ A_(i,j) を任意にとる。

|f(y)| ≦ 1/n なら g_n の A_(i,j) における値を 0 とする。
|f(y)| ＞ 1/n なら g_n の A_(i,j) における値を
f(y)(1 - 1/n|f(y)|) とする。
K_1 ∪ . . . ∪ K_n の外では g_n の値は 0 とする。

|f(y)| ＞ 1/n なら
任意の x ∈ A_(i,j) に対して
|f(x) - g_n(x)| = |f(x) - f(y) + f(y)/n|f(y)|| ＜ 1/n + 1/n = 2/n
よって、 K において (g_n) は a.e. に f に単純収束する。

|f(x)| - |g_n(x)| = |f(x)| - |f(y) - f(y)/n|f(y)||
= |f(x)| - |f(y)|(1 - 1/n|f(y)|) = |f(x)| - |f(y)| + 1/n
他方、||f(x)| - |f(y)|| ≦ |f(x) - f(y)| ＜ 1/n

よって、|f(x)| - |g_n(x)| = |f(x)| - |f(y)| + 1/n ＞ 0
即ち |g_n(x)| ＜ |f(x)|
よって、すべての x ∈ X で |g_n(x)| ≦ |f(x)| となる。
証明終