定理
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
F を距離付け可能な位相空間とする。

f を X から F への可測写像(>>176)とする。

任意のコンパクト集合 K ⊂ X に対して、
F に値をとる強可測な単関数(>>251)の列 (g_n) で
K において a.e. に f に単純収束するものが存在する。

証明
>>178 より
零集合 N ⊂ K とコンパクト集合の(有限または無限の)列
(K_n), n ＞ 0 で K - N = ∪K_n、i ≠ j なら K_i ∩ K_j = φ
となるものがあり、f の各 K_n への制限が連続になる。

d を F の位相と両立する距離とする。
任意の整数 n ＞ 0 をとる。
i ≦ n となる K_i に対して
>>329 より
K_i = A_(i,1) ∪ . . . ∪ A_(i,m_i)
となる K_i の Borel 集合による有限分割が存在し、
x ∈ A_(i,j), y ∈ A_(i,j) なら常に d(f(x), f(y)) ＜ 1/n
となる。

g_n を A_(i,j) においては定数でかつ f の A_(i,j) における値の
ひとつと一致し、K_1 ∪ . . . ∪ K_n の外では一定の値 a ∈ F
をとるものとする。

(g_n) が求めるものである。
証明終