命題
X を局所コンパクト空間とする。
λ を X の容量(過去スレ007の723) とする。
μ^* を λ から誘導された外測度(>>17)とする。

任意のコンパクト集合 K に対して λ(K) = μ^*(K) であるためには、
λ が正則(過去スレ007の915)なことが必要十分である。

証明
>>28 より、μ^* を Borel 集合全体に制限したものは
Borel 測度である。
よって、条件が必要なことは >>32 で証明されている。

λ が正則であるとする。

任意の ε ＞ 0 に対して
K ⊂ U ⊂ U~ となる開集合 U で U~ がコンパクトとなるものがあり、
λ(U~) ＜ λ(K) + ε
となる。

>>28 より
μ^*(U) ≦ λ(U~) ＜ λ(K) + ε
μ^*(K) ≦ μ^*(U) だから
μ^*(K) ＜ λ(K) + ε
ε ＞ 0 は任意だから
μ^*(K) ≦ λ(K)

逆向きの不等式は >>29 で証明されている。
証明終