補題
X をコンパクト空間、F を距離空間とし、d をその距離とする。
f を X から F への連続写像とする。

任意の ε ＞ 0 に対して、
X = A_1 ∪ . . . ∪ A_m, i ≠ j なら A_i ∩ A_j = φ
となる X の Borel 集合(過去スレ007の212)による有限分割が存在し、
各 A_i に対して x ∈ A_i, y ∈ A_i なら常に d(f(x), f(y)) ＜ ε
となる。

証明
任意の ε ＞ 0 に対して、
X の各点 x で x の開近傍 U(x) で y ∈ U(x) なら
常に d(f(x), f(y)) ＜ ε/2 となるものがある。
従って、y ∈ U(x), z ∈ U(x) なら常に d(f(y), f(z)) ＜ ε である。

X はコンパクトだから、有限個の X の点 x_1 , . . , x_n があり、
X = U(x_1) ∪ . . . ∪ U(x_n)
となる。

U(x_1), . . ., U(x_n) で生成される最小の集合環(過去スレ007の189)
を、Φ とする。
Φ の元は Borel 集合である。

過去スレ007の376より、
互いに交わらない A_1, . . ., A_m ∈ Φ があり、
各 U(x_i) はいくつかの A_j の合併となる。
証明終