定理(Lebesgue の項別積分定理の L^p(X, F) 版)
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
K を実数体または複素数体とし、
F を K 上の完備なノルム空間とする。

(f_n), n ≧ 1 を L^p(X, F) (>>299) の列とし、
次の条件を満たすとする。

(1) (f_n) は f に a.e. に単純収束する。

(2) g ∈ L^p(X, R), g ≧ 0 があり、
a.e. に |f_n(x)| ≦ g(x) となる。

このとき、 f ∈ L^p(X, F) で、(f_n) は f に L^p 収束(>>310)する。

証明
N を n ≧ 1 となる整数の集合とする。
A = N×N とおく。
n ∈ N に対して、
A_n = { (a, b) ∈ A | a ≧ n, b ≧ n }
とおく。
A_1 ⊃ A_2 ⊃ . . . であるから (A_n) はフィルター基底である。
(A_n) が生成するフィルターを Φ とする。

(続く)