命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
A を可算集合とし、Φ を可算基底をもつフィルター(過去スレ006の77)
とする。

(f_α), α ∈ A を L^p(X, R) (>>299) の関数で f_α ≧ 0 となる
ものの族とする。

g ∈ L^p(X, R), g ≧ 0 で各 f_α ≦ g となるとする。

このとき、lim.sup[A] f_α (>>317) は L^p(X, R) に属し、
lim.sup[A] N_p(f_α) ≦ N_p(lim.sup[A] f_α)

証明
f = lim.sup[A] f_α とおく。

A_1 ⊃ A_2 ⊃ . . . を Φ の基底とし、g_n = sup {f_α | α ∈ A_n}
とおく。
>>324 より g_n ∈ L^p(X, R) である。

g_1 ≧ g_2 ≧ . . . ≧ 0 だから
>>323 より、f = inf g_n は L^p(X, R) に属し、

N_p(f) = lim N_p(g_n) = inf N_p(g_n) ≧
lim sup {N_p(f_α) | α ∈ A_n} = lim.sup[A] N_p(f_α)
証明終