命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
(f_n), n = 1, 2, . . . を L^p(X, R) (>>299) の関数列とする。

g ≧ 0 で g ∈ L^p(X, R)
各 n に対して f_n ≦ g となるものがあるとする。

このとき f = sup f_n は L^p(X, R) に属す。

証明
g_n = sup {f_1, . . ., f_n} とおく。
>>289 より、g_n ∈ L^p(X, R) である。

(g_1)^(+) = sup{g_1, 0}
(g_1)^(-) = sup{-g_1, 0}
とおく(>>290)。

g_1 = (g_1)^(+) - (g_1)^(-) だから
g_1 = g_1 + (g_1)^(-) = (g_1)^(+) ≧ 0

g_n ≧ g_1 だから
g_n + (g_1)^(-) ≧ g_1 + (g_1)^(-) ≧ 0

h_n = g_n + (g_1)^(-) とおく。
0 ≦ h_1 ≦ h_2 . . . ≦ g + (g_1)^(-)

N_p(h_n) ≦ N_p(g + (g_1)^(-)) ＜ +∞

>>315 より sup h_n = (sup g_n) + (g_1)^(-) ∈ L^p(X, R)
よって、f = sup g_n は L^p(X, R) に属す。
証明終