命題
X を局所コンパクト空間とし、μ を X 上の Radon 測度(>>163)とする。
f_1 ≧ f_2 ≧ . . . ≧ 0 を L^p(X, R) (>>299) の単調減少列とする。

f = inf f_n は L^p(X, R) に属し、
(f_n) は f に L^p 収束し、
N_p(f) = lim N_p(f_n) = inf N_p(f_n) である。

証明
g_n = f_1 - f_n とおく。
0 ≦ g_1 ≦ g_2 ≦ . . . ≦ f_1

sup N_p(g_n) ≦ N_p(f_1) ＜ +∞ だから、
>>315 より、g = sup g_n = f_1 - inf f_n は L^p(X, R) に属し、
(g_n) は g に L^p 収束する。
即ち、f = inf f_n = f_1 - g は L^p(X, R) に属し、
(f_n) は f に L^p 収束する。

N_p は L^p(X, R) 上の連続関数だから
N_p(f) = lim N_p(f_n) = inf N_p(f_n) である。
証明終