命題
X をフィルター(過去スレ006の75) Φ のついた集合とする。
f を X から R~ = [-∞, ＋∞] への写像とする。

f の Φ に関する上極限(>>317) は f の Φ に関する接触値(>>318)の
最大値である。

証明
a を f の Φ に関する上極限とする。

b を f の Φ に関する接触値とする。
任意の M ∈ Φ に対して b は f(M) の接触値である。
sup f(M) ＜ b とすると、b の近傍 V で任意の x ∈ V に対して
sup f(M) ＜ x となるものがある。
よって、 V ∩ f(M) = φ となって矛盾である。
よって、b ≦ sup f(M) である。
よって、b ≦ a である。

V を a の任意の開近傍とする。
M_0 ∈ Φ が存在し、 M ∈ Φ で M ⊂ M_0 なら
sup f(M) ∈ V となる。
V は開集合だから f(M) は V と交わる。

任意の N ∈ Φ に対して N ∩ M_0 ⊂ M_0 だから
f(N) は V と交わる。
よって、a は f の Φ に関する接触値である。
証明終